Bloque
de números y funciones:
1.
La
función:
En matemáticas,
se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si
el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por
ejemplo el área A de
un círculo es
función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2.
Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades
separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a
la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la
velocidad, T = d / v.
Representación de funciones
Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:
usando una relación matemática descrita mediante
una expresión matemática: ecuaciones de
la forma
. Cuando la relación es funcional, es decir satisface la
segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que
se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se
supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión)
y que el codo minio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio
natural, de la función.
Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más
dos unidades".
Como tabulación: tabla que permite representar algunos
valores discretos de la función.
Ejemplo:
Como pares ordenados: pares
ordenados, muy usados en teoría de grafos.
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}
En matemáticas,
una función entre conjuntos ordenados se
dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las
funciones de tal clase surgieron primeramente en cálculo,
y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. Aunque los conceptos
generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología
ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótonamente
crecientes y monótonamente decrecientes (o
simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden
se usan los términos monótona y antítona, o se habla de
funciones que conservan e invierten el orden
Función
creciente Función
decreciente
Simetría de una función
Una función f es simétrica
respecto del eje de ordenadas si ésta es una función par, es decir:
f(-x) = f(x)
Simetría respecto al origen
Una función f es simétrica respecto al origen si ésta es
una función impar, es decir:
2.
Función lineal:
En geometría y
el álgebra elemental, una función
lineal es una función polinómica de primer grado; es
decir, una función cuya representación en el plano
cartesiano es una línea recta.
Esta función se puede escribir como:
Donde m y b son
constantes reales y x es una variable real.
La constante m es la pendiente de la recta,
y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se
modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se
modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos autores llaman función
lineal a aquella con b= 0 de la forma:
mientras que llaman función
afín a la que tiene la forma:
cuando b es distinto de cero.
Ecuación explícita de una recta
La ecuación explícita de la recta viene dada por
la ya conocida expresión:
Ecuación general o implícita de una recta
La ecuación de la recta también la podemos expresar con
todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Es lo
que se denomina:
Ecuación general o implícita de la recta:
PENDIENTE
En matemáticas y ciencias aplicadas se
denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o
constructivo respecto de la horizontal.
En geometría,
puede referirse a la pendiente de la ecuación de una recta como caso particular de la tangente a una curva, en cuyo caso
representa la derivada de la función en el punto considerado, y es
un parámetro relevante, por ejemplo, en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas o canales.
Pendiente
de una recta
La pendiente de una recta en un
sistema de representación rectangular (de un plano
cartesiano), suele estar representada por la letra
, y está definida como la diferencia en el eje Y dividido por
la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. En la
siguiente ecuación se describe:
Ceros de
una función
Los ceros de una función son los puntos en los que la
gráfica corta al eje x. Así, en la siguiente gráfica, podemos ver que la
función tiene tres ceros o raíces:
Entonces, encontrar los ceros o raíces de una función f:
A B / y = f(x), implica resolver la ecuación f(x) = 0. Así, por ejemplo:
la función y = x2 + 1 no tiene ceros,
la función y = x3 tiene un cero en x0 = 0, y
la función y = sen(x) tiene infinitos ceros en los valores
de la forma xk = k., con k entero.
Intersecciones
de Rectas
La intersección de una recta son los puntos
donde la recta intersecta, o cruza, los ejes horizontal y vertical.
La recta mostrada en la
gráfica intersecta a los dos ejes de coordenadas. El punto donde la recta cruza
el eje x se llama [intersección en x]. El
punto [intersección en y] es donde la recta cruza el eje y.
Calculando
Intersecciones
Podemos usar las características
de las intersecciones para calcularlas rápidamente a partir de la ecuación de
una recta. Puedes notar que es fácil, cuando encontramos las x-
y y-intersecciones para la recta
.
Para encontrar la intersección
en y, sustituimos 0 por x en la ecuación, porque sabemos que
cada punto en el eje y tiene un valor de 0 en la coordenada x.
Una vez hecha la sustitución, podemos resolver la ecuación para encontrar el
valor de y. Cuando hacemos x = 0, la ecuación se convierte
en
Ejemplo
|
|||
Problema
|
3y + 2x
|
=
|
6
|
3y +
2(0)
|
=
|
6
|
|
3y
|
=
|
6
|
|
=
|
|||
Solución
|
y
|
=
|
2
|
Seguiremos ahora los mismos pasos
para encontrar la intersección en x. Sea y = 0 en la ecuación, y
resolvamos para x. Cuando y = 0, la ecuación se convierte en
, de donde se obtiene x = 3.
Cuando y = 0, x = 3. Las coordenadas de la intersección
en x son (3, 0).
Ejemplo
|
|||
Problema
|
3y + 2x
|
=
|
6
|
3(0) + 2x
|
=
|
6
|
|
2x
|
=
|
6
|
|
=
|
|||
Solución
|
x
|
=
|
3
|
SISTEMAS
DE DOS ECUACIONES
Hay varios métodos para resolver este
tipo de sistemas:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Primero se despeja una incógnita en una ecuación, y después
se sustituye el resultado en la otra ecuación. Se puede despejar cualquier
incógnita (o la x o la y) en cualquier ecuación (la primera o la segunda), pero
siempre hay que sustituir en “la otra”, es decir, si despejamos en la primera
ecuación, sustituimos en la segunda, y si despejamos en la segunda, sustituimos
en la primera.
Por ejemplo, en el sistema:
3x + y = 5
4x-2y = 1
4x-2y = 1
Despejamos la “y” en la primera ecuación:
y = 5 -3x
y sustituimos el resultado en “la otra” ecuación, es decir,
en la segunda:
4x – 2(5 – 3x) = 1
obteniendo una ecuación con una incógnita, que ya podemos
resolver.
MÉTODO DE IGUALACIÓN:
Primero se despeja la misma
incógnita en las dos ecuaciones (o las dos x o las dos y) y después
se igualan los resultados, obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita.
En el ejemplo anterior, si despejamos las dos y:
y = 5 – 3x
y = (4x – 1)/2
y = (4x – 1)/2
Igualando los resultados, obtenemos la ecuación con una
incógnita:
5 – 3x = (4x – 1)/2
que ya podemos resolver.
MÉTODO DE REDUCCIÓN:
Primero tenemos que conseguir que una incógnita tenga el
mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero
cambiado de signo. Una vez conseguido, se suman
las dos ecuaciones y así obtenemos una ecuación con una
incógnita.
En el ejemplo anterior, si multiplicamos la primera ecuación
por 2, conseguimos tener el mismo coeficiente (cambiado de signo) en
las “y”:
2·(3x + y = 5) -------------> 6x + 2y = 10
4x – 2y = 1
-------------> 4x – 2y = 1
4x – 2y = 1
Sumando las dos ecuaciones entre sí:
10x = 11
donde ya podemos despejar la x
INECUACIONES
LINEALES
Anteriormente has usado los
símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que)
y “≤” (menor o igual que) para describir como es la relación entre
un número y otro. Por ejemplo: 4 > -1 para señalar que 4 es mayor que
-1, -2 < 3 para señalar que -2 es menor que 3 y -3
< -1 para señalar que -3 es menor que -1. Estos ejemplos se
conocen como desigualdades.
Podemos usar la recta numérica para visualizar estas
desigualdades.
Observa que:
4 > -1, porque 4
está a la derecha de -1 en la recta numérica.
-2 < 3, porque -2
está a la izquierda de 3 en la recta numérica
-3 < -1, porque -3 está a la
izquierda de -1 en la recta numérica
0 > -4, porque 4 está a
la derecha de 0 en la recta numérica
na inecuación lineal es
una expresión matemática que describe cómo se
relacionan entre sí dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3
+ 5x ≥ 18; -2(x + 3) < -9.
La solución de una
inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta
numérica, la cual contiene infinito números reales.
Para resolver inecuaciones lineales
hacemos uso de las siguientes propiedades:
Para todo número real a, b y c,
si a < b entonces: a
+ c < b + c y a – c < b – c.
Para todo número real a, b y c,
donde c > 0 y a <
b, entonces:
3. Para todo
número real a, b y c, donde c
< 0, si a < b, entonces:
Función
valor absoluto
Las funciones en valor absoluto
se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el
valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces
y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a trozos, teniendo
en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la
función.
4 Representamos la función resultante.
D= 
Ecuación
de una recta, pendiente, ceros de la función, intersecciones de rectas,
sistemas de dos ecuaciones e inecuaciones lineales, función valor absoluto,
modelos.
3.
Función cuadrática:
Función cuadrática
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su
gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx +c
Representación gráfica de la
parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje
OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo
que tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac
> 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
2.
Punto
de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo
que tendremos:
f(0) = a · 0²
+ b · 0 + c = c (0,c)
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
MAXIMOS Y MINIMOS
Extremos
Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo,
que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba,
el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola
tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.
Ecuación cuadrática (ceros de la función)
Primer forma para sacar la raíz:
1) se iguala la ecuación a cero.
2) se factoriza la ecuación.
3) Cada factor se iguala a cero.
Inecuaciones cuadráticas
x2 + 2x < 15 y 4x2 ≥ 12x -9
1.
Escribe la inecuación en su forma general, es decir comparada con
cero.
2.
Halla los ceros de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0
(Por Descomposición en factores o por la fórmula del discriminante). Si el Discriminante es menor que cero la solución es todos los
reales o no tiene solución, dependiendo de la desigualdad y del signo de ¨a¨.
3.
Representa esos ceros en una Recta numérica.
4.
Analiza el signo de ese Trinomio en los Intervalos determinados
por los ceros, evaluando el Polinomio en valores cómodos de esos intervalos o
ubicando los signos de derecha a izquierda (Si a>0 comienza con el signo más
y alternando menos y luego más, si a < 0 comienza con menos y de igual forma
alterna, el siguiente gráfico hace referencia en caso de ¨ a ¨ positivo).
5.
Escribe la solución en notación de intervalo, teniendo en cuenta
que si la desigualdad es estricta los ceros no se incluyen y en caso contrario
se incluyen en la solución.
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