Bloque
de Estadística y probabilidad:
6.
Probabilidad
Se llama frecuencia a la cantidad de veces que se
repite un determinado valor de la variable.
En estadística se pueden distinguir hasta cuatro tipos de
frecuencias:
- · Frecuencia absoluta Es el promedio de una suma predeterminada y además consiste en saber cual es el número o símbolo de mayor equivalencia. (ni) de una variable estadística Xi, es el número de veces que este valor aparece en el estudio. A mayor tamaño de la muestra aumentará el tamaño de la frecuencia absoluta; es decir, la suma total de todas las frecuencias absolutas debe dar el total de la muestra estudiada (N).
- · Frecuencia relativa (fi), es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra (N). Es decir,
siendo el fi para todo el conjunto i. Se
presenta en una tabla o nube de puntos en una distribución de frecuencias.
Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos
el porcentaje o
tanto por ciento (pi)
- · Frecuencia absoluta acumulada (Ni), es el número de veces ni en la muestra N.
- · Frecuencia relativa acumulada (Fi), es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada
EJEMPLO
Supongamos que las calificaciones de un alumno de secundaria
fueran las siguientes:
18, 13, 12, 14, 11, 08, 12, 15, 05, 20, 18, 14, 15, 11, 10,
10, 11, 13. Entonces:
·
La frecuencia absoluta de 11 es 3, pues 11
aparece 3 veces.
·
La frecuencia relativa de 11 es 0.17, porque
corresponde a la división 3/18.
Tipos de
representaciones gráficas
Cuando se muestran los datos estadísticos a través de
representaciones gráficas, se ha de adaptar el contenido a la información
visual que se pretende transmitir. Para ello, se barajan múltiples formas de
representación:
·
Diagramas de barras: muestran los valores de las
frecuencias absolutas sobre un sistema de ejes cartesianos, cuando la variable
es discreta o cualitativa.
·
Histogramas: formas especiales de diagramas de
barras para distribuciones cuantitativas continuas.
·
Polígonos de frecuencias: formados por líneas
poligonales abiertas sobre un sistema de ejes cartesianos.
·
Gráficos de sectores: circulares o de tarta,
dividen un círculo en porciones proporcionales según el valor de las
frecuencias relativas.
·
Pictogramas: o representaciones visuales
figurativas. En realidad son diagramas de barras en los que las barras se
sustituyen con dibujos alusivos a la variable.
·
Cartogramas: expresiones gráficas a modo de
mapa.
·
Pirámides de población: para clasificaciones de
grupos de población por sexo y edad.
Diagramas
de barras e histogramas
Los diagramas de barras se usan para representar
gráficamente series estadísticas de valores en un sistema de ejes cartesianos,
de manera que en las abscisas se indica el valor de la variable estadística y
en las ordenadas se señala sufrecuencia absoluta.
Estos gráficos se usan en representación de caracteres
cualitativos y cuantitativos discretos. En variables cuantitativas continuas,
se emplea una variante de los mismos llamada histograma.
Diagrama de
barras.
Histograma.
Polígonos
de frecuencias
Para construir polígonos de frecuencias, se trazan las
frecuencias absolutas o relativas de los valores de la variable en un sistema
de ejes cartesianos y se unen los puntos resultantes mediante trazos rectos.
Con ello se obtiene una forma de línea poligonal abierta.
Los polígonos de frecuencias se utilizan preferentemente en
la presentación de caracteres cuantitativos, y tienen especial interés cuando
se indican frecuencias acumulativas. Se usan en la expresión de fenómenos que
varían con el tiempo, como la densidad de población, el precio o la
temperatura.
Gráficos de
sectores
En los diagramas de sectores, también llamados circulares o
de tarta, se muestra el valor de la frecuencia de la variable señalada como un
sector circular dentro de un círculo completo. Por ello, resultan útiles
particularmente para mostrar comparaciones entre datos, sobre todo en forma de
frecuencias relativas de las variables expresadas en forma de porcentaje.
Pictogramas
y cartogramas
Para aligerar la presentación de datos estadísticos, con
frecuencia se recurre a imágenes pictóricas representativas del valor de las variables.
Dos formas comunes de expresión gráfica de los datos son:
·
Los pictogramas, que muestran diagramas
figurativos con figuras o motivos que aluden a la distribución estadística
analizada (por ejemplo, una imagen antropomórfica para indicar tamaños, alturas
u otros).
·
Los cartogramas, basados en mapas geográficos
que utilizan distintas tramas, colores o intensidades para remarcar las
diferencias entre los datos.
Pirámide de
población
Otra forma corriente de presentación visual de datos
estadísticos es la llamada pirámide de población.
Las pirámides de población se utilizan en la expresión de
informaciones demográficas, económicas o sociales, y en ellas se clasifican
comúnmente los datos de la población del grupo de muestra considerado en
diferentes escalas de edad y diferenciada por sexo.
Probabilidad
La probabilidad es un
método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado
mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos
los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
La teoría de la probabilidad se usa
extensamente en áreas como la estadística,
la física,
la matemática, las ciencias y
la filosofía para
sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la
mecánica subyacente discreta de sistemas complejos.
Técnicas De
Conteo
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para
enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones,
permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay
que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las
maneras posibles en que ocurre un evento determinado.
Regla
fundamental del conteo
Si en experimento está integrado por dos ensayas, donde uno
de ellos (una sola sección o elección) tiene m resultados posibles y en otro
ensayo tiene n resultados posibles, entonces cuando los ensayos se realizan
juntos, se tiene:
m x n
Regla
general del conteo.
Si un experimento está compuesto por k ensayos realizados en
un orden definido, donde el primero tiene n, resultados posibles, etc.
entonces el número de resultados posibles para el experimento es:
N1 x n2 x n3 x…x ni.
Espacios de
probabilidad finitos.
Sea del espacio muestral, que contiene n elementos {a1,
a2, a3,.....,an}, si a cada uno de los elementos de d le asignamos
una probabilidad pi ³ 0, entonces estamos transformando este espacio
muestral en un espacio finito de probabilidad; el que debe cumplir con las
siguientes características:
1) Las probabilidades asociadas a cada uno de los
elementos de d deben ser mayores o iguales a
cero, pi³0.
2) La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada
uno de los elementos de d debe de ser igual
a 1.
Spi = 1
En caso de que no se cumpla con las características antes
mencionadas, entonces no se trata de un espacio finito de
probabilidad.
Ejemplos:
a)
Se lanza al aire un dado normal, si la
probabilidad de que aparezca una de sus caras es proporcional al número que
ostenta, a) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par?,
b)
¿cuál es la probabilidad de que aparezca un
número primo?
Solución:
d = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
En este caso asignaremos las probabilidades como sigue;
p(aparezca el número 1) = p, p(aparezca el número
2) = 2p, .....,
p(aparezca el número 5) = 5p, p(aparezca el número 6) = 6p
Y por ser d un
espacio finito de probabilidad, entonces,
p(d) = p + 2p
+ 3p + 4p + 5p + 6p =1
Por tanto, 21p = 1, luego, p =
1/21
a. Luego;
A = evento de que
aparezca un número par = {2, 4, 6}
p(A)=p(2)+p(4) + p(6) = 2p + 4p + 6p = 12p = 12(1/21) =
12/21= 0.5714
b. B = es el evento de
que aparezca un número primo = {1, 2, 3, 5}
p(B)=p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = p + 2p + 3p + 5p = 11p =
11(1/21) = 11/21 = 0.5238
Frecuencia, representaciones gráficas, probabilidad,
técnicas de conteo, espacios de probabilidad finitos.
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